Посмотрите, что ваша функция события выполняется перед созданием элемента DOM!
Попробуй это:
for (y_client = 1; y_client < 11; y_client++) {
battlefield_client += "<tr>";
for (x_client = 1; x_client < 11; x_client++) {
battlefield_client += "<td onclick = '' class = 'tile' style='border: 3px solid black;' id=" + "cell_client_" + x_client + "_" + y_client + "><pre> </pre></td>";
}
battlefield_client += "</tr>";
}
$(document).ready(function() {
$("#tableGrid_client").html(battlefield_client); //loads table
$('.tile').click(function() {
boatGrid.placeBoat_client();
});
});