Не удалось открыть окно Slim / Slim.php

Ваш скриншот говорит, что ошибка находится в require Slim/slim.php.
Если apiвнутри этой index.php есть то, что папка Slim должна быть внутри api.

Чтобы исправить это, выполните

require '../Slim/Slim.php';

Вы всегда можете использовать defineссылку, которая ссылается на ваш корень файла для дальнейшего использования. Если вам когда-либо понадобится включить, вам не нужно будет поднимать или опускать каталоги с помощью ../.

define('FILE_ROOT', dirname(__FILE__).'/');
require_once FILE_ROOT.'Slim/Slim.php';

получить текущий каталог и работать с ним, который вы можете использовать:

getcwd();