Я не уверен в результате, но надеюсь, что эта работа.
Добавлен id="searchbox"
вход для поиска. и эти две линии.
var urlParams = new URLSearchParams(window.location.search);
document.getElementById('searchbox').value = urlParams.get('q');
Теперь ваш полный код выглядит.
<div class="main">
<br/><br/>
<form action="" method="GET">
<input class="q" name="q" id="searchbox" placeholder="Search by Name or type URL" title="Search ..." value="" />
</form>
</div>
<script>
(function() {
var cx = '004533415228465222070:r2ak9s12hwi';
var gcse = document.createElement('script');
gcse.type = 'text/javascript';
gcse.async = true;
gcse.src = (document.location.protocol == 'https:' ? 'https:' : 'http:') + '//www.google.com/cse/cse.js?cx=' + cx;
var s = document.getElementsByTagName('script')[0];
s.parentNode.insertBefore(gcse, s);
})();
var urlParams = new URLSearchParams(window.location.search);
document.getElementById('searchbox').value = urlParams.get('q');
</script>
<gcse:searchresults-only></gcse:searchresults-only>