userStorage
Объект доступен для действий только на Google.
Если вы хотите сделать то же самое для веб-клиента, вам нужно будет сохранить эту информацию самостоятельно. Возможно, он сохранит его в веб-cookie или браузере LocalStorage, а затем отправит вместе с запросом в Dialogflow, возможно, в контексте.
Если вам нужно, чтобы пользователь мог идти между ними и иметь одну и ту же информацию в обоих случаях, вам нужно будет использовать что-то вроде входа в Google и хранить информацию в хранилище данных (например, Firebase) по идентификатору пользователя.