Почему бы вам не создать функцию, которая переключает Boolean X для истинного O для false true для false, указав, кто его поворачивает. передавая идентификатор кнопки, нажатой на функцию. Каждая кнопка получает идентификатор.
var whosTurn = true;
function turn(id) {
var element = document.getElementById(id);
if (whosTurn) {
element.innerHTML = "X";
} else {
element.innerHTML = "O";
}
element.disabled = true;
whosTurn = !whosTurn;
}